Joachim Carr tok sine første pianotimer i en alder av 8 år i Bergen. Senere studier førte ham til Jiri Hlinka ved Barratt Dues Musikkinstitutt og Eldar Nebolsin ved Hochschule für Musik «Hanns Eisler» Berlin. De norske pianistene Jan Henrik Kayser, Håvard Gimse og Leif Ove Andsnes har også vært viktige mentorer, og de senere årene har han fått musikalsk veiledning av de ungarske pedagogene Rita Wagner og Ferenc Rados.
Han vant 1. pris, publikumsprisen og Bergen-filharmoniens pris i den 14. International Edvard Grieg Piano Competition i 2014. Noen år tidligere mottok han 2. pris i Prinsesse Astrids Musikkpris, og i 2013 ble han tildelt «Coup de coeur»-prisen i den prestisjefulle Concours Clara Haskil i Sveits. Som kammermusiker i duo- og trioformat er han vinner av både Concours International Musique de Chambre i Lyon og Boris Pergamenschikow-prisen i Berlin. I 2015 mottok han Robert Levin-prisen i forbindelse med debutkonserten i Universitets Aula i Oslo.
Som kammermusiker og solo-recitalist har han de seneste årene medvirket på en rekke festivaler i Europa: Festspillene i Bergen, Oslo Kammermusikkfestival, Lofoten Pianofestival, Cully Classique, Zermatt Festival, Klavierfestival Ruhr, Bach Festival Moscow, Festspiele Mecklenburg-Vorpommern og Salzburger Kammermusikfestival i samspill med musikere som Antje Weithaas, Arve Tellefsen, Arvid Engegård, Ingrid Fliter og Andrei Ionita.
Som solist har han blant annet opptrådt i samspill med Kungliga Filharmonikerna Stockholm, Trondheim Symfoniorkester, Bergen Filharmoniske Orkester, Kringkastingsorkestret, Ålesund Symfoniorkester, Marinemusikken og Litauens Statlige Symfoniorkester, i samarbeid med dirigentene John Storgårds, Alexander Vedernikov, Miguel Harth-Bedoya, Leo McFall, Eivind Aadland og Bjarte Engeset. På avslutningskonserten under Festspillene i Bergen i 2017 hadde han æren av å fremføre Griegs a-moll konsert.
Hans første soloplate med verker av Schumann, Brahms og Alban Berg for Claves i 2014 høstet glimrende kritikker internasjonalt og han ble i det franske musikkmagasinet Diapason utropt som en av de mest lovende pianister i sin generasjon. Han har også spilt inn den ukjente norske komponisten Halfdan Cleves 4.klaverkonsert for Naxos, samt verker av Grieg i et live-opptak fra Klavierfestival Ruhr 2015. Hans neste soloplate med verker av Bach-Busoni, Franck, Liszt og Messiaen kommer ut våren 2022.
